ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53706
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка M, лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого.


Подсказка

Треугольник MCD подобен треугольнику MBA с коэффициентом ½.


Решение

  Поскольку  ∠MCD = ∠ABD,  то треугольник MCD подобен треугольнику MBA. Из отношения площадей вписанных кругов следует, что коэффициент подобия треугольников MCD и MBA равен ½. Значит,  cos∠CMB = MC/MB = ½,  а так как CMB – острый (точка M расположена вне данного круга), то
AMB = ∠CMB = 60°.
  Угол при вершине M треугольника AMB не может быть вдвое меньше угла A или B, так как в противном случае один из углов A или B равен 120°, что невозможно. Если же угол M вдвое больше угла A, то угол B равен 90°, что также невозможно (в этом случае прямая MB касается данной окружности). Аналогично угол M не может быть вдвое меньше угла B.
  Таким образом, либо угол A вдвое больше угла B, либо наоборот. В каждом из этих случаев один из углов равен 40°, а второй 80°.


Ответ

60°, 40°, 80°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1440

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .