Задача 53720

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Подсказка

Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Пусть вневписанная окружность (с центром O) треугольника ABC касается стороны AB в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках L и M соответственно. Обозначим через p полупериметр треугольника. Тогда

2p = AB + BC + AC = (AK + KB) + BC + AC =

= (AL + BM) + BC + AC = (AL + AC) + (BM + BC) = CL + CM,

поэтому CL = CM = p.

Поскольку OL = OM = p, то четырёхугольник OLCM — ромб, а т.к. OL CM, то это квадрат. Следовательно, ACB = 90^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1454