Задача 53776

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Даны две параллельные прямые l и l₁. С помощью одной линейки проведите через данную точку M прямую, параллельную прямым l и l₁.

Подсказка

Примените замечательное свойство трапеции.

Решение

  Пусть точка M и прямая l лежат по разные стороны от прямой l₁. Возьмём на на прямой l две точки A и B. Пусть A₁ и B₁ – точки пересечения MA и MB с прямой l₁, P – точка пересечения диагоналей AB₁ и BA₁ трапеции AA₁B₁B, K и Q – точки пересечения прямой MP с A₁B₁ и AB соответственно (см. рис.). Если T – точка пересечения прямых AK и QB₁, то прямая TM — искомая.

  Действительно, треугольник KTB₁ подобен треугольнику ATQ, а треугольник A₁MK – треугольнику AMQ, причём коэффициент подобия один и тот же, так как  A₁K = KB₁.  Следовательно,  TB₁ : TQ = KB₁ : AQ = KA₁ : AQ = MK : MQ.  Поэтому  MT || KB₁ || l.
  Если точка M лежит внутри полосы между прямыми l и l₁, то через произвольную точку M₁, лежащую вне этой полосы, проведём прямую l₂, параллельную прямым l₁ и l (указанным выше способом), а затем через точку M проведём прямую, параллельную прямым l₁ и l₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1540