Задача 53800

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольной трапеции отношение диагоналей равно 2, а отношение оснований равно 4. Найдите углы трапеции.

Решение

  Пусть  BC = x  и  AD = 4x  – основания трапеции ABCD,  AC = y,  BD = 2y  – её диагонали и  AB ⊥ AD.  По теореме Пифагора  y² – x² = 4y² – 16x²,  или
5x² = y².
  Пусть CK – высота трапеции. Тогда ²CK² = AB² = AC² – BC² = 4x²,  DK = AD – BC = 3x.
  Следовательно,  tg∠CDA = ^CK/_KD = ²/₃.

Ответ

^π/₂, ^π/₂,  arctg ²/₃,  π – arctg ²/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1564