ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53811
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Теорема косинусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и L так, что  AK = KL = LB.
Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что  CK = CL.


Решение

  Пусть P и Q – проекции точек K и L на прямую BC.

  Первый способ. Обозначим BC = 3a,  CL = x.  Тогда  CK = xKP² = CK² – CP² = 2x² – a²,  LQ² = x² – 4a².
  Поскольку  KP = 2LQ,  то  2x² – a² = 4(x² – 4a²),  откуда  x² = 7,5a².  Следовательно,  LQ² = 3,5a²,  tg∠B = LQ/BQ = .

  Второй способ. Обозначим  ∠B = β.  Будем считать, что  BL = 1,  тогда   = 3cos β.
  По теореме косинусов  4 + 9 cos²β – 12 cos²β = 2(1 + 9 cos²β – 6 cos²β),  то есть  9 cos²β = 2.


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1575

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .