ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53815
Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Площадь трапеции ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершина C прямоугольника ABCD лежит на стороне KM равнобедренной трапеции ABKM  (BK || AM),  P – точка пересечения отрезков AM и CD.
Найдите углы трапеции и отношение площадей прямоугольника и трапеции, если  AB = 2BC,  AP = 3BK.


Подсказка

Через точку C проведите прямую, параллельную AM, до пересечения с AB в точке T и рассмотрите равнобедренную трапецию TBKC.


Решение

  Пусть T – такая точка на стороне AB, что   TC || AM,  O – точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции TBKC. Обозначим  TK = BC = 4x,
BAM = α.  Тогда  AB = 2BC = 8x,  SABCD = AB·BC = 32x².
  Из подобия треугольников BOK и COT следует, что   BO : OC = BK : TC = BK : AP = 32x².  Поэтому  BO = x,  TO = 3x,  BT² = TO² – BO² = 8x².  Следовательно,
tg α = tg∠BTC = BC/BT = TC = BC/sin α = 4x/sin α.
  Пусть BF – высота трапеции ABKM. Тогда  BF = AB sin α = 8x sin α,  AF = 8x cos α,  а средняя линия этой трапеции равна       Следовательно,  


Ответ

BAM = arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1579

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .