ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53827
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Признаки подобия ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает продолжение стороны BC в точке M, причём  MC : MB = 1 : 5.  Перпендикуляр, проходящий через середину стороны BC, пересекает сторону AC в точке N, причём  AN : NC = 1 : 2 . Найдите углы треугольника ABC.


Подсказка

Продолжите серединный перпендикуляр к стороне BC до пересечения с прямой AB и с прямой, проведённой через вершину C параллельно AB.


Решение

 Пусть P и Q – середины сторон BC и AB соответственно, K – точка пересечения прямых PN и AB. Через точку C проведём прямую, параллельную AB, до пересечения с прямой PN в точке T. Обозначим  MC = x,  AQ = a.  Тогда  CP = PB = 2x,  BQ = a.
  Из равенства треугольников KPB и TPC следует, что  CT = KB,  а из подобия треугольников KNA и TNC –  KA : CT = NA : NC = 1 : 2.  Поэтому
KA = AB = 2a.
  Из подобия треугольников MBQ и KBP следует, что  PB : QB = KB : MB,  или  2x/a = 4a/5x.  Отсюда  4a² = 10x².
  Пусть AF – высота треугольника ABC. Тогда AF – средняя линия треугольника KPB. Поэтому  BF = FP = x.  Значит,
AF² = AB² – BF² = 4a² – x² = 10x² – x² = 9x²,  то есть  AF = 3x.
  Следовательно,  tg∠C = AF/FC = 1,  ∠C = 45°,  а  tg∠B = AF/FB = 3.  Значит,  tg∠A = – tg(∠A + ∠B) = – = 2.


Ответ

A = arctg 2,  ∠B = arctg 3,  ∠C = 45°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1591

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .