ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53856
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Чевы.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A1, B1 и C1 принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Докажите, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Необходимость. Пусть отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M.

  Первый способ. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC, и продолжим отрезки AA1 и CC1 до пересечения с этой прямой в точках K и N соответственно (см. рис.).

  Из подобия треугольников BA1K и CA1A следует, что  BK = AC·BA1/A1C.  Аналогично  BN = AC·BC1/C1A.  Кроме того,  AB1/BK = B1M/MB = CB1/BN.  Следовательно,     Поэтому  

  Второй способ.    

  Достаточность. Пусть     Предположим, что прямая, проходящая через вершину B и точку пересечения отрезков AA1 и CC1, пересекает сторону AC в точке P. Тогда по доказанному     а так как по условию     то  
  Следовательно, точки P и B совпадают.


Решение 2

  Пусть прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке M. Обозначим  AC1/C1B = pBA1/A1C = q.  Нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку M тогда и только тогда, когда  CB1 : B1A = 1 : pq.
  Поместим в точки A, B и C массы 1, p и q соответственно. Тогда C1 – центр масс точек A и B, а A1 – центр масс точек B и C. Центр масс точек A, B и C с данными массами лежит и на отрезке AA1 и и на отрезке CC1, то есть совпадает с M.
  С другой стороны, точка M лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C, то есть с точкой, лежащей на стороне AC и делящей её в отношении  CB1 : B1A = 1 : pq.
  Остаётся заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1621

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .