ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53857
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Менелая.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Докажите, что


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Проведите через вершину B прямую, параллельную AC, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Через вершину B проведём прямую, параллельную AC. Пусть K – точка её пересечения с прямой B1C1 (рис. слева).
  Из подобия треугольников BC1K и AC1B1 следует, что     Из подобия треугольников BA1K и CA1B1 следует, что     Поэтому  

  Следовательно,  


Решение 2

  Пусть l – произвольная прямая, пересекающая прямую A1C1 в точке L. Через точки A, B и C проведём прямые, параллельные прямой A1C1. Пусть A2, B2, C2 – точки пересечения этих прямых с прямой l (рис. справа). По теореме о пропорциональных отрезках  
  Следовательно,  


Решение 3

  Пусть a, b, c – длины высот треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1, проведённых из вершин A, B, C соответственно. Тогда     Следовательно,  


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1622

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .