Задача 53865

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁. Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из точки B₁ на прямые AB и BC, а из точки A₁ — на прямые AB и AC.

Решение

Пусть A₂, B₂, C₂ – проекции точки M на прямые BC, AC, AB; T и F – проекции точки B₁ на AB и BC; Q и P – проекции точки A₁ на AB и AC.

Пусть E – точка пересечения прямых B₁Q и MC₂. Тогда  MA₂ : B₁F = MA₁ : B₁A₁ = C₂Q : TQ = EC₂ : B₁T = EC₂ : B₁F,  значит,  MA₂ = EC₂.  Аналогично
MB₂ = ME.  Следовательно,  MC₂ = ME + EC₂ = MB₂ + MA₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1630