Информация о задаче

Задача 53877

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции основания равны a и b, диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен $\alpha$ . Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Cуммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой.

Решение

Пусть AD = b, BC = a — основания трапеции ABCD. Предположим, что b > a. Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке F. Тогда

DF = b - a, $\displaystyle \angle$ DCF = $\displaystyle \alpha$ .

Обозначим AB = CF = x, CD = y. Пусть h — высота трапеции. Тогда

h = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta DCF}}{DF}}$ = $\displaystyle {\frac{xy\sin \alpha}{b-a}}$ .

По теореме косинусов из треугольника DCF находим, что

x² + y² - 2xy cos $\displaystyle \alpha$ = (b - a)².

Поскольку суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой, то

x² + y² = a² + b².

Вычитая почленно первое равенство из второго, получим, что

2xy^.cos $\displaystyle \alpha$ = 2ab $\displaystyle \Rightarrow$ xy = $\displaystyle {\frac{ab}{\cos \alpha}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC + AD)h = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{xy\sin \alpha}{b-a}}$ =

= $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\frac{ab}{\cos \alpha}\cdot \sin \alpha}{b-a}}$ = $\displaystyle {\frac{ab(a+b)\tg \alpha}{2(b-a)}}$ .

Аналогично для случая a > b.

Ответ

${\frac{ab(a+b)\tg \alpha}{2\vert a-b\vert}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1642