Задача 53901

Тема:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Продолжения двух противоположных сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются под углом α, продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырёхугольнике равны, и найдите разность двух других его углов.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.

Решение

  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые AD и BC – в точке N, как показано на рисунке. Тогда внешние углы BAD и BCD треугольников ANB и CMB равны, та как два угла каждого из этих треугольников соответственно равны двум углам другого. Кроме того,
ABC = ∠BCM + α = (∠ADC + ∠DNC) + α = ∠ADC + α + α = ∠ADC + 2α.

  Аналогично для остальных случаев.

Ответ

2α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1666