ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53937
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 2-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите внутри треугольника ABC такую точку P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Докажите, что окружности с диаметрами AP и BP пересекаются на стороне AB.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть C1 — отличная от A точка пересечения со стороной AB окружности, построенной на отрезке AP как на диаметре. Поскольку точка C1 лежит на окружности с диаметром AP, то

$\displaystyle \angle$AC1P = 90o.

Если C2 — отличная от B точка пересечения со стороной AB окружности, построенной на отрезке BP как на диаметре, то

$\displaystyle \angle$BC2P = 90o.

Из единственности перпендикуляра следует, что точки C1 и C2 совпадают. Аналогично докажем, что окружности с диаметрами AP и CP пересекаются на стороне AC (в точке B1), а окружности с диаметрами CP и BP — на стороне BC (в точке A1).

По условию PA1 = PB1 = PC1, поэтому точка P равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Следовательно, P — точка пересечения биссектрис этого треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

Точка пересечения биссектрис треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1701

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .