ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53957
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Угол при вершине A треугольника ABC равен 120o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.


Подсказка

Пусть D — точка касания окружности с прямой AB. Докажите, что отрезок AD равен полупериметру треугольника ABC.


Решение

Пусть O — центр окружности, D, E и F — точки касания с прямыми AB, BC и AC соответственно, 2p — периметр треугольника ABC. Тогда AD = AF, BE = BD и CE = CF. Поэтому

2p = AB + BC + AC = AB + (BE + EC) + AC =

= (AB + BE) + (EC + AC) = (AB + BD) + (CF + AC) = AD + AF.

Значит, AD = AF = p.

Поскольку луч AO — биссектриса угла DAC, то $ \angle$DAO = 60o. Из прямоугольного треугольника ADO находим, что

AO = 2AD = 2p.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1721

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .