ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53971
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Прямая касается окружности в точке M, то есть имеет с прямой единственную общую точку M.
Докажите, что радиус окружности, проведённый в точку M, перпендикулярен этой прямой.

б) Докажите, что прямая, проходящая через некоторую точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведённому в эту точку, является касательной к окружности, то есть имеет с окружностью единственную общую точку.


Решение

  а) Пусть M – единственная общая точка прямой и окружности с центром O. Предположим, что радиус OM не перпендикулярен этой прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности на прямую. На продолжении отрезка MH за точку H отложим отрезок HN, равный MH. Тогда треугольник OMN – равнобедренный, так как его высота OH является медианой. Следовательно,  ON = OM,  то есть точка N также лежит на окружности и при этом отлична от M, а это противоречит тому, что M – единственная общая точка прямой и окружности.

  б) Пусть точка M лежит на окружности, а прямая AM перпендикулярна радиусу OM. Тогда все остальные точки прямой AM находятся от центра O дальше чем точка M (так как перпендикуляр короче наклонной) и, следовательно, лежат вне окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1735

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .