ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53977
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM делится прямой AB?


Подсказка

В прямоугольном треугольнике AMO катет OA равен половине гипотенузы OM. Если K – середина OM, то треугольник AOK – равносторонний.


Решение

Биссектриса равнобедренного треугольника AMB, проведённая из вершины M, является высотой. Поэтому  ABMO.  Пусть окружность пересекает отрезок OM в точке K. В прямоугольном треугольнике AMO катет OA равен половине гипотенузы MO, значит,  ∠AMO = 30°,  а  ∠AOM = 60°.  Поскольку угол между равными сторонами OA и OK равнобедренного треугольника AOK равен 60°, то треугольник – равносторонний. Его высота AP является медианой, поэтому   OP = KP = ½ OK = ¼ OM.  Следовательно,   OP : MP = 1 : 3.


Ответ

1 : 3,  считая от точки O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1741

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .