ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54033
Темы:    [ Многоугольники (прочее) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон треугольника примыкает больший из них.


Подсказка

Пусть BD — биссектриса треугольника ABC и AB > BC. Отложите на стороне AB отрезок BC1, равный BC.


Решение

Пусть A, B и C — произвольные последовательные вершины такого многоугольника. Тогда диагональ AC — сторона треугольника ABC, лежащая против тупого угла, значит, AC > AB. Таким образом, каждой стороне многоугольника соответствует диагональ, большая этой стороны, причём, разным сторонам соответствуют разные диагонали. Тогда сумма только этих диагоналей больше периметра многоугольника.

Пусть BD — биссектриса треугольника ABC и AB > BC. Рассмотрим точку C1, симметричную вершине C относительно биссектрисы угла B. Тогда CD = C1D. Поскольку BC1 = BC < AB, то точка C1 лежит на отрезке AB, а AC1D — внешний угол треугольника BDC1, поэтому

$\displaystyle \angle$AC1D > $\displaystyle \angle$BDC1 = $\displaystyle \angle$BDC > $\displaystyle \angle$A.

Следовательно, CD = C1D < AD.

Утверждение задачи можно легко вывести из свойства биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1796

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .