ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54049
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30° ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его в отношении 1 : 3. Под какими углами видна хорда из концов этого диаметра?


Подсказка

Соедините один из концов хорды с концами диаметра и с центром окружности. Один из образовавшихся треугольников равносторонний.


Решение

Пусть AB — диаметр окружности с центром O, CD — хорда, пересекающая диаметр AB в точке M, CD $ \perp$ AB, AM : BM = 1 : 3. Обозначим AM = a. Тогда

BM = 3aOC = OB = OA = 2aOM = OA - AM = 2a - a = a.

Поскольку в прямоугольном треугольнике COM катет OM равен половине гипотенузы OC, то угол, противолежащий этому катету, равен 30o, т.е. $ \angle$OCM = 30o. Поэтому $ \angle$COM = 60o, а т.к. треугольник AOC — равносторонний, то $ \angle$CAB = 60o. Аналогично находим, что $ \angle$DAB = 60o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle \angle$CAB + $\displaystyle \angle$DAB = 120o.

Из прямоугольного треугольника BAC находим, что $ \angle$CBA = 30o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$CBD = 2$\displaystyle \angle$CBA = 60o.


Ответ

60o, 120o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1812

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .