ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54064
Тема:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка A лежит на окружности. Найдите геометрическое место таких точек M, что отрезок AM делится этой окружностью пополам.


Подсказка

На продолжении диаметра AB данной окружности за точку B отложите отрезок BC, равный AB.


Решение

Пусть некоторый отрезок AM делится данной окружностью пополам. На продолжении диаметра AB данной окружности за точку B отложим отрезок BC, равный AB. Если K - середина AM, то $ \angle$AKB = 90o, значит, высота BK треугольника ABM является его медианой, поэтому BM = BA = BC. Следовательно, точка M лежит на окружности с центром B и радиусом AB.

Пусть теперь точка M, отличная от A, лежит на окружности с диаметром AC, а K - отличная от A точка пересечения луча AM с данной окружностью. Тогда высота BK равнобедренного треугольника ABM является его медианой. Следовательно, K - середина отрезка AM.


Ответ

Окружность без одной точки.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1827

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .