ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54123
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан четырёхугольник, сумма диагоналей которого равна 18. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Проведите диагональ четырёхугольника и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ACD с общей стороной AC. Поэтому

KL = MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC.

Аналогично докажем, что

KN = LM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BD.

Следовательно,

KL + LM + MN + KN = (KL + MN) + (KN + LM) = AC + BD = 18.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

18.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1886

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .