Задача 54123

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан четырёхугольник, сумма диагоналей которого равна 18. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Подсказка

Проведите диагональ четырёхугольника и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.

Решение

Пусть K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ACD с общей стороной AC. Поэтому

KL = MN = AC.

Аналогично докажем, что

KN = LM = BD.

Следовательно,

KL + LM + MN + KN = (KL + MN) + (KN + LM) = AC + BD = 18.

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1886