Задача 54141

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две медианы треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Подсказка

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

Пусть BM и CN – равные медианы треугольника ABC, O – точка их пересечения. Тогда  ON = ¹/₃ CN = ¹/₃ BM = OM,  OB = ²/₃ BM = ²/₃ CN = OC,  поэтому треугольники BON и COM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AB = 2BN = 2CM = AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1904