Информация о задаче

Задача 54276

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Пусть M и K — середины оснований BC и AD трапеции ABCD. Через вершину C меньшего основания BC (AC = 3, BD = 5) проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P и прямую, параллельную MK, до пересечения с прямой AD в точке Q. Тогда

AQ = AK + KQ = AK + MC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + DP).

Поэтому CQ — медиана треугольника ACP,

CQ = MK = 2, AC = 3, CP = BD = 5, S_ABCD = S_ACP.

На продолжении медианы CQ за точку Q отложим отрезок QF, равный CQ. Стороны треугольника CFP равны:

CF = 2CQ = 4, CP = BD = 5, FP = AC = 3.

Этот треугольник прямоугольный ( CP² = CF² + PF²). Поэтому

S_CFP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CF^.PF = 6.

Следовательно,

S_ABCD = S_ACP = S_CFP = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2039