ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54276
Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Удвоение медианы ]
[ Площадь трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.


Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.


Решение

Пусть M и K — середины оснований BC и AD трапеции ABCD. Через вершину C меньшего основания BC (AC = 3, BD = 5) проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P и прямую, параллельную MK, до пересечения с прямой AD в точке Q. Тогда

AQ = AK + KQ = AK + MC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AD + BC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AD + DP).

Поэтому CQ — медиана треугольника ACP,

CQ = MK = 2, AC = 3, CP = BD = 5, SABCD = S$\scriptstyle \Delta$ACP.

На продолжении медианы CQ за точку Q отложим отрезок QF, равный CQ. Стороны треугольника CFP равны:

CF = 2CQ = 4, CP = BD = 5, FP = AC = 3.

Этот треугольник прямоугольный ( CP2 = CF2 + PF2). Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$CFP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CF . PF = 6.

Следовательно,

SABCD = S$\scriptstyle \Delta$ACP = S$\scriptstyle \Delta$CFP = 6.


Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2039

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .