ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54292
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Гипотенуза KM прямоугольного треугольника KMP является хордой окружности радиуса . Вершина P находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно . Найдите острые углы треугольника KMP.


Подсказка

Пусть O – центр окружности, A – середина KM. Рассмотрите треугольник OAM.


Решение

  Пусть O – центр данной окружности, OA – перпендикуляр к гипотенузе. Тогда A – середина гипотенузы. По теореме Пифагора  AM² = OM² – OA² = 4.  Значит,  AP = AK = AM = 2.

  Пусть PB – высота треугольника KMP. Тогда   PB = OA = .  Поэтому  PB/AP = .
  Следовательно, треугольник KAP равносторонний и  ∠MKP = 60°.


Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .