Задача 54334

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD основание BC равно 13, а угол BAD острый и вдвое больше угла ADC. Окружность с центром на прямой BC касается прямых AC, AD и отрезка CD. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что радиус окружности равен 5.

Подсказка

Докажите, что AC – биссектриса угла BAD.

Решение

  Данная окружность – вневписанная окружность треугольника CAD, касающаяся стороны CD и продолжений сторон AC и AD. Пусть O – центр окружности, P и Q – проекции вершин B и C меньшего основания трапеции на AD, M – точка касания с прямой AD, K – с прямой AC.

  Поскольку CO – биссектриса угла KCD, то  ∠ BCA = ∠KCO = ∠OCD = ∠CDA,  ∠CAD = ∠BCA, то есть треугольники ABC и ACD – равнобедренные. Значит,  AB = BC = 13,  BP = OM = 5,  AP² = AB² – BP² = 12²,  AD = 2(AP + PQ) = 50,  S_ABCD = ½ (AD + BC)BP = ³¹⁵/₂.

Ответ

157,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2097