ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54374
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности по разные стороны от диаметра AC расположены точки B и D. Известно, что  AB = CD = 1,  а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника BCD. Найдите радиус окружности.


Подсказка

Продолжите BC и AD до пересечения.


Решение

  Пусть прямые BC и AD пересекаются в точке M, DK – высота треугольника BCD. Поскольку  ∠B = 90°,  SBCD = 1/3 SABC,  то  DK = 1/3 AB = ,
CK² = DC² – DK² = 1/3.
  Из подобия треугольников CKD и ABM получаем, что  AM = AB/CK·СD.  Поскольку  DK || AB,  то  AD = 2/3 AM = 2
  По теореме Пифагора  AC² = AD² + CD² = 9.  Следовательно, радиус окружности равен 3/2.


Ответ

1,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2137

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .