ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54470
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольник MNKB так, что две его стороны MB и KB лежат на катетах, а вершина N — на гипотенузе AC. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу, чтобы площадь параллелограмма составляла 18% площади треугольника?


Подсказка

Обозначьте AN = x, CN = y и составьте уравнение относительно x и y.


Решение

Обозначим AN = x, CN = y. Тогда

MN = $\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{2}}}$KN = $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{2}}}$AB = CB = (x + y)$\displaystyle \sqrt{2}$,

SMNKB = MN . NK = $\displaystyle {\frac{xy}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . BC = $\displaystyle {\frac{(x + y)^{2}}{4}}$.

Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{xy}{2}}$ = 0, 18(x + y)2  $\displaystyle \Rightarrow$  9x2 - 82xy + 9y2 = 0.

Решая это уравнение относительно $ {\frac{x}{y}}$, находим, что

$\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ или $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = 9.


Ответ

$ {\frac{1}{9}}$ или 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2234

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .