ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54495
Темы:    [ Площадь параллелограмма ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cos$ \angle$BAM = $ {\frac{4}{5}}$.


Подсказка

Докажите, что треугольник AMB — прямоугольный.


Решение

Поскольку $ \angle$BAD + $ \angle$ABC = 180o, то треугольник AMB — прямоугольный. Поэтому

AB = $\displaystyle {\frac{BM}{\sin \angle BAM}}$ = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$.

По формуле sin 2$ \alpha$ = 2 sin$ \alpha$cos$ \alpha$ находим, что

sin$\displaystyle \angle$BAD = 3 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$.

Следовательно,

SABCD = AD . AB sin$\displaystyle \angle$BAD = 5 . $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$ = 16.


Ответ

16.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2259

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .