ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54568
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины.


Подсказка

Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекается с серединным перпендикуляром к стороне BC на описанной окружности треугольника ABC.


Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть AH — его высота, AD — биссектриса, AM — медиана.

Заметим, что продолжение биссектрисы AD и серединный перпендикуляр к стороне BC проходят через середину E дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Поэтому отрезок MH — проекция отрезка AE на прямую BC, а т.к. точки A и E лежат по разные стороны от прямой BC, то точка D лежит между точками H и M.

Точка E пересечения прямой AD с серединным перпендикуляром к стороне BC лежит на описанной окружности треугольника ABC. Центр O этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к стороне BC и отрезку AE.

Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольной прямой строим точку H, затем последовательно строим точки A, D, M, E, O. Искомые вершины B и C треугольника ABC являются точками пересечения исходной прямой с окружностью радиуса OA с центром O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2463

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .