Задача 54571

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD площади S не параллельны.
Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри четырёхугольника, для которых  S_ABX + S_CDX = ^S/₂.

Подсказка

Продолжите стороны AB и CD до пересечения в точке O и отложите на лучах OA и OB отрезки, равные AB и CD.

Решение

Пусть O – точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OK и OL равные AB и CD соответственно. Тогда
S_ABX + S_CDX = S_KOX + S_LOX = S_KOL ± S_KXL. Следовательно, площадь треугольника KXL постоянна, то есть точка X лежит на прямой, параллельной KL.

Ответ

Отрезок (без концов).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2446
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	1
Название	ГМТ - прямая или отрезок
Тема	ГМТ - прямая или отрезок
задача
Номер	07.002