ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54573
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.


Подсказка

Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.


Решение

Первый способ.

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть ha, hb и hc -- его высоты, проведённые из вершин A, B и C соответственно, и при этом BC = a, AC = b, AB = c. Тогда

2S$\scriptstyle \Delta$ABC = aha = bhb = chc.

Следовательно, $ {\frac{a}{h_{b}}}$ = $ {\frac{b}{h_{a}}}$. Найдём такой отрезок x, для которого

$\displaystyle {\frac{a}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{h_{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{x}}$.

Поскольку $ {\frac{h_{b}}{h_{c}}}$ = $ {\frac{c}{b}}$. то

x = $\displaystyle {\frac{c}{b}}$ . ha = $\displaystyle {\frac{h_{b}}{h_{c}}}$ . ha = $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$.

Таким образом

$\displaystyle {\frac{a}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{h_{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}} }}$.

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику со сторонами ha, hb, $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$ по трём сторонам.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим отрезок x такой, что x = $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$. Затем построим треугольник со сторонами ha, hb, $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$. Проведём в нём высоту к стороне, равной hb, и отложим на ней от вершины треугольника отрезок, равный ha. Через конец этого отрезка (отличный от вершины) проведём перпендикулярную ему прямую. Точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон построенного треугольника есть вершины B и C искомого треугольника.

Второй способ.

Пусть ha, hb и hc — данные высоты, соответствующие сторонам a, b и c искомого треугольника. Выберем окружность и точку M вне её так, чтобы из этой точки можно было провести к окружности секущие MXX1, MYY1 и MZZ1, внешние части которых соответственно равны данным высотам, т.е. MX = ha, MY = hb и MZ = hc. Поскольку

ha . MX1 = hb . MY1 = hc . MZ1,

то отрезки MX1, MY1 и MZ1 соответственно пропорциональны сторонам a, b и c искомого треугольника.

Построив треугольник, стороны которого равны отрезкам MX1, MY1 и MZ1, проведём в нём высоту к стороне, равной отрезку MX1. Отложив на ней от вершины треугольника отрезок, равный данной высоте ha, получим основание высоты искомого треугольника. Остается провести через это основание прямую, перпендикулярную построенной высоте, до пересечения с продолжениями сторон построенного треугольника. Получим две другие вершины искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2468

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .