ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54573
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.


Подсказка

Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.


Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть ha, hb и hc – данные высоты, соответствующие сторонам a, b и c искомого треугольника. Из формулы площади треугольника следует, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.

  Первый способ. Значит, искомый треугольник подобен треугольнику со сторонами ha, hb, hahb/hc.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим отрезок  x = hahb/hc.  Затем построим треугольник со сторонами ha, hb, x. Проведём в нём высоту к стороне, равной hb, и отложим на ней от вершины треугольника отрезок, равный ha. Через конец этого отрезка (отличный от вершины) проведём перпендикулярную ему прямую. Точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон построенного треугольника – две оставшиеся вершины и искомого треугольника (см. рис.).

  Второй способ. Возьмём M и, выпустив из неё три луча под углами 120°, отложим на них отрезки  MX = ha,  MY = hb,   MZ = hc.  Вторые точки пересечения прямых MX, MY, MZ с описанной окружностью треугольника XYZ дадут три отрезка MX1, MY1 и MZ1, пропорциональные сторонам a, b, c искомого треугольника. Далее действуем как в первом способе.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2468

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .