|
|
 |
Условие
Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180°.
Подсказка
Достройте треугольник ADM до параллелограмма ADMN и докажите, что AMBN – вписанный четырёхугольник.
Решение
Если точка M лежит на одной из диагоналей ромба, то
∠AMD + ∠BMC = 180°.
Пусть M – точка внутри ромба, для которой данное равенство выполнено. Достроим треугольник ADM до параллелограмма ADMN. Тогда
∠NAM = ∠DMA, ∠NBM = ∠BMC (MCBN – также параллелограмм). Поэтому ∠NAM + ∠NBM = 180°. Следовательно, четырёхугольник AMBN – вписанный. Его диагонали AB и MN равны между собой. Поэтому AM || BN или BM || AN.
В первом случае ∠AMD = ∠MAN = ∠AMB, значит, ∠AMD + ∠CMB = 180°. Следовательно, точка M лежит на диагонали AC. Аналогично докажем, что во втором случае точка M лежит на диагонали BD.
Ответ
Диагонали ромба.
Замечания
5 баллов
