ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54585
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.


Подсказка

Проведите через основание данной биссектрисы прямую, параллельную одной из данных сторон треугольника.


Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AM = l — данная биссектриса, AB = a, AC = b — данные стороны. Через точку M проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения со стороной AC в точке K. Тогда

$\displaystyle \angle$AMK = $\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$MAK.

Поэтому треугольник AMK — равнобедренный. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{MC}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  MK = AB . $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = a . $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{a+b}}$.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим равнобедренный треугольник AMB по основанию AM = l и боковым сторонам AK = KM = $ {\frac{ab}{a+b}}$. (Отрезок $ {\frac{ab}{a+b}}$ можно построить, например, так: через точку пересечения диагоналей любой трапеции с основаниями a и b проведём прямую, параллельную основаниям. Отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен $ {\frac{2ab}{a+b}}$).

Отложив на луче AK от точки A отрезок, равный b, получим искомую вершину C. Отложим от луча AM в полуплоскости, не содержащей точки K, луч под углом, равным углу MAC. Отложив на построенном луче от точки A отрезок, равный a, получим искомую вершину B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1965
Номер 15
Задача
Название Задача 8.4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Вариант 1
Тур 1
задача
Номер 2
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2480

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .