Задача 54603

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки около данного треугольника опишите треугольник, равный другому данному треугольнику.

Подсказка

Задача сводится к проведению через точку пересечения двух окружностей секущей, часть которой, заключённая внутри окружностей, равна данному отрезку.

Решение

Для определенности будем считать, что вершины A₁, B₁ и C₁ треугольника должны находиться соответственно на сторонах BC, AC и AB второго треугольника.

Предположим, что задача решена. Опишем окружности около треугольников A₁B₁C и C₁B₁A. Тогда AC — секущая, проходящая через точку B₁ пересечения двух построенных окружностей, часть которой внутри окружностей равна стороне второго данного треугольника.

Отсюда вытекает следующий способ построения. На отрезке A₁B₁ как на хорде строим окружность, дуга которой вмещает угол, равный углу C. Таких окружностей может быть две. Выберем из них ту, для которой указанная дуга и точка C₁ расположены по разные стороны от прямой A₁B₁. Аналогично строим окружность на хорде B₁C₁. Через точку пересечения B₁ этих окружностей проводим секущую, часть которой, заключённая внутри окружностей равна отрезку AC. Для этого достаточно построить прямоугольный треугольник по гипотенузе O₁O₂ (O₁ и O₂ — центры построенных окружностей) и катету, равному половине данного отрезка AC, и через точку B₁ провести прямую, параллельную этой секущей. Эта прямая вторично пересекает окружности в вершинах A и C искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2498