ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54605
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Концентрические окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, равных данному отрезку.

Подсказка

Выразите расстояние от середины каждой такой хорды до центра данной окружности через радиус этой окружности и длину хорды.


Решение

Пусть AB = a — некоторая хорда окружности с центром O и радиусом R. Если P — проекция точки O на AB, то P — середина AB и

OP = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}- \left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{a^{2}}{4}}$.

Следовательно, точка P находится на окружности с центром в точке O и радиусом, равным

$\displaystyle \sqrt{OA^{2}- \left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{a^{2}}{4}}$.

Обратно, любая точка M такой окружности есть середина некоторой хорды исходной окружности. Действительно, касательная к построенной окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку M. Следовательно, точка M — середина отрезка CD этой касательной, заключённого внутри данной окружности. Поэтому

CD = 2$\displaystyle \sqrt{OC^{2}- OM^{2}}$ = a.


Ответ

Окружность, концентрическая данной.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2500

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .