Задача 54681

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.

Подсказка

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Решение

Пусть хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Треугольники AMC и DMB подобны по двум углам (углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), поэтому  AM : DM = CM : BM  ⇒  AM·BM = CM·DM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2627