ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54699
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.


Подсказка

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Тогда треугольник ABO — равнобедренный.


Решение

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = $ {\frac{1}{2}}$BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cos$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle {\frac{OH}{AO}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{10}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = $ {\frac{1}{2}}$BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cos$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle {\frac{OH}{AO}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{10}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 20, BD = 24, AB = CD = 10. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = 10, BO = 12. Значит, треугольник ABO — равноберенный. Пусть AH — его высота. Тогда OH = $ {\frac{1}{2}}$BO = 6. Из прямоугольного треугольника AOH находим, что

cos$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle {\frac{OH}{AO}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{10}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.


Ответ

$ {\frac{3}{5}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2645

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .