Задача 54705

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма или формулой для медианы треугольника.

Решение

Пусть AM — медиана прямоугольного треугольника ABC, в котором AB = 12, AC = 11, BC = 13. На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC — параллелограмм. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AK² + BC² = 2AB² + 2AC²,

откуда

AK² = 2AB² + 2AC² - BC² = 288 + 242 - 169 = 361 = 19².

Следовательно, AM = AK = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2651