ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54725
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами AB и AC углы $ \alpha$ и $ \beta$ соответственно. Найдите эти стороны.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

На продолжении медианы AM за точку M отложите отрезок MK, равный AM, и примените теорему синусов к треугольнику ACK.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда четырёхугольник ABKC — параллелограмм, поэтому $ \angle$AKC = $ \angle$BAM = $ \alpha$. По теореме синусов из треугольника ACK находим, что

$\displaystyle {\frac{CK}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{AK}{\sin (180^{\circ }- \alpha -\beta)}}$,

откуда

AB = CK = $\displaystyle {\frac{AK\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$.

Аналогично находим, что

AC = $\displaystyle {\frac{AK\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$, $ {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2671

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .