Задача 54835

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение высоты CH треугольника ABC пересекает прямую DF в точке K. Найдите HK, если катеты равны 2 и 3.

Подсказка

Докажите, что CK – медиана прямоугольного треугольника CDF.

Решение

  Пусть  AC = 3,  BC = 2.  Обозначим  ∠BAC = α.  Прямоугольные треугольники ABC и DFC равны по двум катетам, поэтому  
∠CDF = ∠A = α,  ∠DCK = ∠BCH = α,  то есть треугольник DKC равнобедренный,  CK = DK.  Аналогично  CK = FK.  Значит,     Поскольку  AC·BC = AB·CH,  то  
  Следовательно,  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2781