ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54960
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если какую-либо точку внутри параллелограмма соединить со всеми его вершинами, то сумма площадей двух противолежащих треугольников равна сумме площадей двух других.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Докажите, что сумма площадей двух противоположных треугольников равна половине площади параллелограмма (или проведите через данную точку прямые, параллельные сторонам параллелограмма).


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Первый способ.

Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда

S(MBC) + S(AMD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . MP + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . MQ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . (MP + MQ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . PQ,

причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма.

Второй способ.

Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .