Условие
В параллелограмме соединены середина каждой стороны с концом следующей стороны, отчего получился внутренний параллелограмм.
Докажите, что его площадь составляет ⅕ площади данного параллелограмма.
Решение
Пусть K, L, M и N – середины сторон соответственно
AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD. Через вершины A и C проведём прямые, параллельные BM. Точки пересечения этих прямых с прямыми AL и CN являются вершинами параллелограмма ARCQ (точки C и R лежат по одну сторону от прямой BM). Аналогично построим параллелограмм с противоположными вершинами B и D. Если X – точка пересечения прямых AR и BM, то треугольники LRC и LXB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. То же верно для всех таких треугольников, расположенных вне исходного параллелограмма. Значит, площадь "креста", образованного двумя построенными параллелограммами, равна площади исходного параллелограмма. Но "крест" состоит из пяти равных параллелограммов, один из которых – параллелограмм, площадь которого нужно найти.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3031 |
