ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54991
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть M, N, K и L — середины сторон CD, DA, AB и BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми AM, BN, CK и DL.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Найдите отношение отрезков, на которые отрезок BN делится отрезками AM и CK.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть прямые AM и BN пересекаются в точке P, BN и CK — в точке Q, CK и DL — в точке R, DL и AM — в точке T. Тогда PQRT — также квадрат. Опустим перпендикуляр CH из вершины C исходного квадрата на прямую AM. Заметим, что RCHT — квадрат, равный квадрату PQRT. Поскольку треугольники CHM и DTM равны, то они равновелики. Значит, площадь квадрата RCHT равна площади треугольника DCL. Рассуждая анлогично, придём к тому, что площадь квадрата ABCD равна пяти площадям квадрата PQRT.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{1}{5}}$S.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .