Задача 55125

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Золотых А.

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

Подсказка

Вершины указанного шестиугольника делят стороны каждого из полученных треугольников на три равные части.

Решение

  Пусть ABC – данный треугольник. Обозначим указанные точки деления, как показано на рисунке. Тогда  S_A1B1C1 = ¹/₃ S.
  Пусть F – точка пересечения прямых C₂A₂ и AC, MNKLPQ – шестиугольник, о котором говорится в условии. Из равенства треугольников FA₂C и C₂A₂A₁ следует, что  CF = C₂A₁ = ¹/₃ AC.
  Из подобия треугольников A₁NC₂ и B₁NF находим, что  A₁N : NB₁ = C₂A₁ : B₁F = 1 : 2.  Аналогично  A₁M : MC₁ = 1 : 2.  Поэтому  S_A1MN = ¹/₉ S_A1B1C1 = ^S/₂₇.
  Аналогично  S_B1KL = S_C1PQ = ^S/₂₇.  Следовательно,  S_MNKLPQ = ^S/₃ – 3·^S/₂₇ = 2S/₉.

Ответ

^2S/₉.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3200