ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55133
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три прямые, параллельные сторонам треугольника ABC и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника ABC трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилегающих к сторонам треугольника ABC, равна площади четвёртого.


Подсказка

Указанные диагонали трапеций отсекают от треугольника ABC три треугольника, сумма площадей которых равна площади треугольника ABC.


Решение

Пусть O — точка внутри треугольника ABC, через которую проведены три прямые; AM, BN, CK — указанные диагонали трёх трапеций (рис.1).

Поскольку OM || AB, то S$\scriptstyle \Delta$ABM = S$\scriptstyle \Delta$ABO. Аналогично

S$\scriptstyle \Delta$BCN = S$\scriptstyle \Delta$BCOS$\scriptstyle \Delta$ACK = S$\scriptstyle \Delta$ACO.

Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$ABM + S$\scriptstyle \Delta$BCN + S$\scriptstyle \Delta$ACK = S$\scriptstyle \Delta$ABO + S$\scriptstyle \Delta$BCO + S$\scriptstyle \Delta$ACO = S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Если EFP — "внутренний" треугольник, то

S$\scriptstyle \Delta$EFP = S$\scriptstyle \Delta$ABC - S$\scriptstyle \Delta$ABM - S$\scriptstyle \Delta$BCN - S$\scriptstyle \Delta$ACK +

+ S$\scriptstyle \Delta$AKE + S$\scriptstyle \Delta$BMF + S$\scriptstyle \Delta$CPN =

= S$\scriptstyle \Delta$ABC - S$\scriptstyle \Delta$ABC + S$\scriptstyle \Delta$AKE + S$\scriptstyle \Delta$BMF + S$\scriptstyle \Delta$CPN =

= S$\scriptstyle \Delta$AKE + S$\scriptstyle \Delta$BMF + S$\scriptstyle \Delta$CPN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3208

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .