ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55139
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.


Подсказка

Разбейте указанный шестиугольник на четыре треугольника средними линиями данного треугольника.


Решение

Пусть A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC, AB остроугольного треугольника ABC; пусть также перпендикуляры, опущенные из точки C1 на AC и из точки B1 на AB, пересекаются в точке M; из точки C1 на BC и из точки A1 на AB — в точке N; из точки A1 на AC и из точки B1 на BC — в точке K. Тогда M, N, K — точки пересечения высот треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1 соответственно.

Треугольник C1MB1 равен треугольнику BNA1, а треугольник A1KB1 — треугольнику BNC1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно,

SA1KB1MC1N = S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$C1MB1 + S$\scriptstyle \Delta$A1KB1 =

= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$BNA1 + S$\scriptstyle \Delta$BNC1 =

= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1BC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3214

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .