ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55139
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Разбейте указанный шестиугольник на четыре треугольника средними линиями данного треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC, AB остроугольного треугольника ABC; пусть также перпендикуляры, опущенные из точки C1 на AC и из точки B1 на AB, пересекаются в точке M; из точки C1 на BC и из точки A1 на AB — в точке N; из точки A1 на AC и из точки B1 на BC — в точке K. Тогда M, N, K — точки пересечения высот треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1 соответственно.

Треугольник C1MB1 равен треугольнику BNA1, а треугольник A1KB1 — треугольнику BNC1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно,

SA1KB1MC1N = S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$C1MB1 + S$\scriptstyle \Delta$A1KB1 =

= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$BNA1 + S$\scriptstyle \Delta$BNC1 =

= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1BC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3214

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .