Информация о задаче

Задача 55161

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан больше ${\frac{{3}}{{4}}}$ периметра, но меньше периметра.

Подсказка

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан AM, BN и CK треугольника ABC. Поскольку

OA + OB > AB, OA + OC > AC, OB + OC > BC,

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2(OA + OB + OC) > AB + BC + AC, или

2 $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right.$ $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$ AM + $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$ BN + $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$ CK $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right)$ > AB + BC + AC.

Отсюда следует, что

AM + BN + CK > $\displaystyle {\frac{{3}}{{4}}}$ (AB + BC + AC).

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA₁, равный AM. Тогда ABA₁C — параллелограмм. Поэтому

BA₁ = AC, 2AM = AA₁ < AB + BA₁ = AB + AC.

Отсюда следует, что AM < ${\frac{{1}}{{2}}}$ (AB + BC). Аналогично докажем, что

BN < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ (AB + BC), CK < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ (AC + BC).

Сложив почленно эти три неравенства, получим:

AM + BN + CK < AB + BC + AC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3515