ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55203
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.


Подсказка

Площадь четырёхугольника ABCD равна полусумме площадей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB.


Решение

Пусть a, b, c, d – последовательные стороны четырёхугольника ABCD, S – его площадь. Тогда
2S = SABC + SCDA + SBCD + SABD ≤ ½ (ab + bc + cd + ad) = ½ (a + c)(b + d) ≤ ⅛ ((a + c) + (b + d))² = 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3557

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .