ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55214
Темы:    [ Неравенства для площади треугольника ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше $ {\frac{1}{\sqrt{3}}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Если данный треугольник остроугольный, то его наибольший угол не меньше 60o.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть AA1, BB1, CC1 — биссектрисы треугольника ABC, BP и CQ — его высоты, S — площадь.

Предположим сначала, что треугольник ABC — остроугольный, а $ \angle$A — его наибольший угол. Тогда

60o  $\displaystyle \leqslant$  $\displaystyle \angle$A < 90oBP  $\displaystyle \leqslant$  BB1 < 1, CQ $\displaystyle \leqslant$ CC1 < 1.

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . CQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CQ . $\displaystyle {\frac{BP}{\sin \angle A}}$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 1 . 1 . $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Если $ \angle$A $ \geqslant$ 90o, то

AC < CC1 < 1, AB < BB1 < 1.

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . AB sin$\displaystyle \angle$A $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . AB < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3568

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .