ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55264
Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей из соответствующих треугольников и сложите почленно полученные равенства.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD. По теореме косинусов из треугольников ABD и ACD находим, что

BD2 = AB2 + AD2 - 2AB . AD cos$\displaystyle \angle$BAD,

AC2 = AD2 + CD2 - 2AD . CD cos$\displaystyle \angle$ADC =

= AD2 + CD2 - 2AD . CD cos(180o - $\displaystyle \angle$BAD) =

= AD2 + CD2 + 2AD . CD cos$\displaystyle \angle$BAD.

Следовательно,

BD2 + AC2 = 2 . AB2 + 2 . AD2.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4011

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .