ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55270
Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник со сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть вершины M и N параллелограмма MNPQ находятся на стороне AC треугольника ABC, а вершины P и Q – на сторонах   AB = 9  и  AC = 15.
  Поскольку APQM и NPQC – параллелограммы, то  AM = PQ = NC = 6,  AC = 18.
  Из подобия треугольников MQC и ABC следует, что  QM = 2/3 AB = 6,  а из подобия треугольников APN и ABC – PN = 2/3 BC = 10.
  По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма   PN² + MQ² = 2PQ² + 2PM².
  Следовательно,  PM² = ½ (PN² + MQ² – 2PQ²) = ½ (100 + 36 – 72) = 32.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

4 , 18.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4017

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .