|
|
 |
Условие
В треугольник со сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника.
Подсказка
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Решение
Пусть вершины M и N параллелограмма MNPQ находятся на стороне AC треугольника ABC, а вершины P и Q – на сторонах AB = 9 и AC = 15.
Поскольку APQM и NPQC – параллелограммы, то
AM = PQ = NC = 6, AC = 18.
Из подобия треугольников MQC и ABC следует, что
QM = 2/3 AB = 6, а из подобия треугольников APN и ABC – PN = 2/3 BC = 10.
По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма
PN² + MQ² = 2PQ² + 2PM².
Следовательно, PM² = ½ (PN² + MQ² – 2PQ²) = ½ (100 + 36 – 72) = 32.
Ответ
4 , 18.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4017 |
